jeudi 7 juillet 2016

L'informatique bloquée par la philosophie en mathématique

3 informaticiens ont annoncé la plus grande preuve mathématique à ce jour, un fichier de 200 téraoctets qui équivaut à tous les textes de la Librairie du Congrès. 

Mais il est humainement impossible de lire cette preuve mathématique.

Source


L’énigme mathématique qui nécessite une preuve de 200 To est appelée le problème des triples booléens pythagoréen et il intrigue les mathématiciens depuis des décennies.

Quel est le problème résolu par la machine ? Celui-ci :

Ce problème mathématique demande s’il est possible de colorier chaque entier positif en bleu ou en rouge pour qu’aucun trio d’entier a, b et c soit de la même couleur. Les valeurs ab et c correspondent à la fameuse équation de Pythagore a2 + b2 = c2. Par exemple, pour les triples pythagoréens de 34 et 5, si 3 et 5 sont coloriés en bleu, alors 4 doit être rouge.


Résultat trouvé par la machine :

Dans un papier posté sur arXiv le 3 mai, HeuleOliver Kullmann de l’université de Swansean au Royaume-Uni et Victor Marek de l’université du Kentucky ont démontré qu’il existe plusieurs manières de colorier les entiers jusqu’à 7 824, mais quand vous atteignez 7 825, il est impossible pour chaque triple pythagoréen d’être en multi-couleur. Il existe 102 300 manières de colorier les entiers jusqu’à 7 825,


Les nombres allant de 1 à 7 824 peuvent être coloriés en bleu ou rouge pour qu’aucun trio ab et c, qui égalisent a2 + b2 = c2 ne soit de la même couleur. La grille de 7 284 carrés montre une telle solution avec les nombres coloriés en rouge et bleu. Mais pour les nombres de 1 à 7 825, il n’y a pas de solution.

Je continue car je sens que ça vous passionne ! ;)

Conclusion :


Bien que l’ordinateur ait résolu le problème des triples booléens de Pythagore, il ne fournit pas la raison de l’impossibilité du coloriage ou pourquoi cette limite de 7 825 .

 Cela donne un écho à l’objection philosophique des preuves par ordinateur. Elles peuvent être correctes, mais est-ce que c’est toujours des mathématiques ? Si le travail du mathématicien est une quête pour augmenter la compréhension humaine des mathématiques, alors ce type de preuve a peu d’intérêt. Il vaut mieux se baser sur la théorie plutôt que les possibilités des ordinateurs.



Hal, dans 2001 l'Odyssée de l'Espace.
Nous n'en sommes pas là...

6 commentaires:

  1. Okay, étant amateur de mathématiques je vais m'exprimer sur le sujet,

    Les mathématiques, aujourd'hui, deviennent beaucoup trop complexes. Les nouveaux résultats importants deviennent beaucoup trop longs et trop durs à démontrer. Et surtout à relire... C'est très difficile de devoir relire cent pages ou cent cinquante pages de démonstrations, qui peuvent se référer à des résultats très récents. C'est pour ça par exemple que lorsque Perelman a présenté sa preuve de la conjecture de Poincaré, il a fallu deux ans avant qu'elle soit acceptée, pareil pour Wiles.

    L'idée de corriger les preuves avec les ordinateurs est très intéressante, et je pense même que ça va s'imposer. Sûrement pas tout de suite, mais il faudra bien le faire si on veut passer plus de temps à faire des maths qu'à les corriger.

    Mais ici je parle bien de corriger les preuves grâce à l'info. Dans cet article, il est question d'ordinateur pour aider à la résolution de problèmes mathématiques. C'est assez courant, en fait lorsqu'on doit dénombrer énormément de cas, on utiliser l'ordinateur (je parle de beaucoup de cas mais en nombre fini hein !). C'est le cas avec le fameux théorème des quatre couleurs. L'ordinateur a dressé tous les cas possibles. Mais il y en avait tellement que le faire à la main était illusoire. Ca arrive souvent en arithmétique ou en théorie des graphes.

    SInon il me semble qu'on dit triplet pythagoriciens. En tout cas c'est comme ça que je l'ai rencontré dans la littérature.

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    1. 150 pages de démonstration si c'est bien résumé c'est lisible. Dans les conférences les chercheurs en mathématiques s'y retrouvent tranquillement... Un Lemme par ci un lemme par là, une fois qu'ils ont saisis la "clé" on peut passer à la suite...

      Si la relecture a été aussi longue c'est qu'il y a sans doutes eu du gros tripotage. Ou que ça a été mal rédigé(confus, mal ordonné, etc...)

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    2. Merci beaucoup pour ces précisions.

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  2. Le problème semble simple et peut être écrit de différentes manières. On arrivera bien à comprendre pourquoi ce truc bloque un jour.

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    1. Oui, je le pense vraiment. Il faut du temps, c'est tout.

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  3. Votre blog est intéressant! Je l'utilise souvent de mon ordinateur , quand je vois ce message d'erreur «il manque dll» je suis juste en utilisant ce fichier http://fr.fix4dll.com/msvcr100_dll et il est éliminé. Je vous souhaite bonne chance!

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Sans Modération.

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